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FUNCION CUADRATICA
Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física y Economía. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación.
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c ....... Ejemplo: 3x 2 + x + 2
FORMULA GENERAL.
FORMULA GENERAL.
Donde a, b y c (llamados términos) son números reales
cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero,
pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así:
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuacion de segundo grado o
cuadratica, vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice
que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término
lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.
Representación gráfica de una función cuadrática :
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos
[x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva
llamada parábola.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien
definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos).
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces).
Punto de corte con el eje de ordenadas.
Eje de simetría.
Vértice.
EJEMPLO:
Orientación
Una primera característica es la orientación de la parábola.
Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia
arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan
hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2).
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba.EJEMPLO:
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo.
EJEMPLO:
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una
función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función
cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión
vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que
f(x) = 0.
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un
término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante,
no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para
resolverla usamos la fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas: formula:
Video tutorial: Funcion Cuadratica Leccion 2
Video tutorial: Funcion Cuadratica Leccion 3
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas: formula:
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante).
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html
Dibujemos la gráfica de f(x) =
x2 -2 x - 3.
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Completando la gráfica obtengo:
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html
Videos con Ejercicios (ejemplos).
Para ver los videos debes hacer click en el link azul.
Video tutorial: Funcion Cuadratica Leccion 1Video tutorial: Funcion Cuadratica Leccion 2
Video tutorial: Funcion Cuadratica Leccion 3
